Mathématiques · Terminale SS Prépare le BAC

Leçon 19 sur 33

Fonction exponentielle : définition et propriétés

Je connais la fonction exponentielle comme réciproque de ln, ses règles de calcul, sa dérivée, ses limites, et je sais résoudre des équations et inéquations simples avec exp.

1 h
5 exercices corrigés
2 schémas
QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

Définir exp comme la fonction réciproque de ln et utiliser ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x
Utiliser les règles de calcul sur les exponentielles
Connaître le signe, la dérivée, le sens de variation et les limites de exp
Résoudre des équations et inéquations avec exp, y compris par changement d'inconnue

Avant de commencer : La fonction ln (définition, propriétés algébriques, équations et inéquations), les règles de calcul sur les puissances.

1Je découvre

Dans la leçon précédente, Ousmane cherchait la durée nécessaire pour atteindre une somme : il connaissait le résultat et cherchait l'exposant. La fonction ln lui a permis de répondre.

Fatoumata, sa voisine, se pose la question inverse. Elle sait que, dans un certain modèle de croissance, une quantité vérifie ln y = 2. Elle veut connaître y lui-même. Autrement dit : quel est le nombre dont le logarithme vaut 2 ?

Elle essaie à la calculatrice : ln 7 ≈ 1,946 et ln 7,5 ≈ 2,015. Le nombre cherché est entre 7 et 7,5, mais elle voudrait une fonction qui le donne directement, pour n'importe quelle valeur du logarithme.

Cette fonction « qui défait ce que fait ln » existe : c'est la fonction exponentielle.

Comment est définie la fonction exponentielle, et quelles sont ses propriétés ?

2Je comprends

1. Définition

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et prend toutes les valeurs réelles (de -∞ à +∞). Donc, pour tout réel y, il existe un unique réel x > 0 tel que ln x = y.

Définition. La fonction exponentielle, notée exp, associe à tout réel x l'unique nombre strictement positif dont le logarithme est x. On note exp(x) = e^x.

Ainsi, pour x réel et y > 0 :

y = e^x ⇔ ln y = x.

On dit que exp et ln sont des fonctions réciproques : l'une « défait » ce que fait l'autre.

Relation	Valable pour
ln(e^x) = x	tout réel x
e^{ln x} = x	tout réel x > 0

Valeurs particulières : e⁰ = 1 (car ln 1 = 0) et e¹ = e ≈ 2,718 (car ln e = 1).

La réponse à Fatoumata est donc y = e² ≈ 7,389.

2. Signe et règles de calcul

Pour tout réel x, e^x > 0. Une exponentielle n'est jamais nulle ni négative.

Les règles de calcul sont les mêmes que pour les puissances. Pour tous réels a et b et tout entier n :

Règle	Formule
produit	e^{a + b} = e^a × e^b
inverse	e^-a = 1e^a
quotient	e^{a - b} = e^ae^b
puissance	(e^a)ⁿ = e^na

Ces règles se démontrent avec ln. Par exemple, ln(e^a × e^b) = ln(e^a) + ln(e^b) = a + b = ln(e^{a + b}), donc e^a × e^b = e^{a + b}.

Exemple

Simplifier A = e^(2x) × e^(−x) / e³ et B = e^(2 ln 3).

A = e^(2x − x − 3) = e^(x − 3).

B = e^(ln(3²)) = e^(ln 9) = 9.

3. Dérivée, variations et limites

Propriété. La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et elle est sa propre dérivée :

(e^x)' = e^x.

Comme e^x > 0, la fonction exp est strictement croissante sur ℝ. On en déduit :

e^a = e^b ⇔ a = b ;
e^a < e^b ⇔ a < b.

Limites :

lim_{x → -∞} e^x = 0 lim_{x → +∞} e^x = +∞

La première limite signifie que l'axe des abscisses (la droite y = 0) est asymptote horizontale à la courbe en -∞.

La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation y = e⁰(x - 0) + e⁰, soit y = x + 1.

Courbe de exp : toujours au-dessus de l'axe des abscisses, croissante, passant par A(0 ; 1) et E(1 ; e), avec sa tangente y = x + 1 en A.

Les courbes de ln et de exp sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation y = x.

Fonction ln

définie sur ]0 ; +∞[
ln 1 = 0 et ln e = 1
(ln x)' = 1/x
ln x → −∞ en 0⁺
ln(ab) = ln a + ln b

Fonction exp

définie sur ℝ
e⁰ = 1 et e¹ = e
(eˣ)' = eˣ
eˣ → 0 en −∞
e^(a + b) = eᵃ × eᵇ

ln et exp sont réciproques : chaque propriété de l'une se traduit en une propriété de l'autre.

4. Équations et inéquations avec exp

Forme	Solution
e^A = e^B	A = B
e^A < e^B	A < B
e^x = k avec k > 0	x = ln k
e^x = k avec k ≤ 0	aucune solution
e^x > k avec k > 0	x > ln k

Méthode

Pour résoudre une équation ou une inéquation avec exp :

J'écris les deux membres sous la forme e^A et e^B, ou e^x = k.
Si k ≤ 0 dans e^x = k, je conclus directement : pas de solution (une exponentielle est toujours positive).
Je supprime les exponentielles : A = B, A < B, ou x = ln k (le sens est conservé car exp est croissante).
Si l'équation contient e^(2x) et e^x, je pose X = e^x (avec X > 0), car e^(2x) = X².
Je résous, je rejette les valeurs de X négatives ou nulles, puis je reviens à x avec x = ln X.

Exemple

Résoudre e^(2x − 1) = e^(x + 2), puis e^x = 5.

e^(2x − 1) = e^(x + 2) ⇔ 2x − 1 = x + 2 ⇔ x = 3. S = {3}.

e^x = 5 ⇔ x = ln 5 ≈ 1,609. S = {ln 5}.

Exemple

Résoudre e^(2x) − 3e^x + 2 = 0.

On pose X = e^x (X > 0). Comme e^(2x) = (e^x)², on obtient X² − 3X + 2 = 0.

Δ = 9 − 8 = 1, X₁ = 1 et X₂ = 2 (tous deux positifs).

e^x = 1 ⇔ x = 0 ; e^x = 2 ⇔ x = ln 2.

S = {0 ; ln 2}.

Exemple

Résoudre e^(3x) ≤ e^(x + 4) et e^x > 3.

e^(3x) ≤ e^(x + 4) ⇔ 3x ≤ x + 4 ⇔ x ≤ 2. S = ]−∞ ; 2].

e^x > 3 ⇔ x > ln 3. S = ]ln 3 ; +∞[.

3Je retiens

Je retiens

y = eˣ ⇔ ln y = x (pour y > 0) : exp et ln sont réciproques.

ln(eˣ) = x pour tout réel x ; e^(ln x) = x pour x > 0.

e⁰ = 1 ; e¹ = e ≈ 2,718 ; eˣ > 0 pour tout x.

e^(a + b) = eᵃ eᵇ ; e^(−a) = 1/eᵃ ; e^(a − b) = eᵃ/eᵇ ; (eᵃ)ⁿ = e^(na).

(eˣ)' = eˣ ; exp est strictement croissante sur ℝ.

lim eˣ = 0 en −∞ (asymptote y = 0) ; lim eˣ = +∞ en +∞.

eᴬ = eᴮ ⇔ A = B ; eˣ = k ⇔ x = ln k si k > 0 (aucune solution si k ≤ 0).

4Erreurs fréquentes

Écrire e^(a + b) = eᵃ + eᵇ : c'est FAUX, l'exponentielle transforme une somme en produit.
Donner une solution à eˣ = −2 : une exponentielle est toujours strictement positive, S = ∅.
Garder une solution X négative après le changement X = eˣ : eˣ = −2 est impossible, on rejette cette valeur.
Confondre e^(2x) et e^(x²) : e^(2x) = (eˣ)², alors que e^(x²) est une autre fonction.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Simplifie.

a) e³ × e^-5

b) (e²)³e⁴

c) e^{ln 7}

d) ln(e^-4)

e) e^{2 ln 3}

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a) e^{3 - 5} = e^-2.

b) e⁶e⁴ = e^{6 - 4} = e².

c) e^{ln 7} = 7.

d) ln(e^-4) = -4.

e) e^{2 ln 3} = e^{ln 9} = 9.

2Exercice 2

Résous dans ℝ.

a) e^{3x + 1} = e^{x - 5}

b) e^x = 4

c) e^{2x - 1} = 1

d) e^x = -2

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a) 3x + 1 = x - 5 ⇔ 2x = -6 ⇔ x = -3. S = {-3}.

b) x = ln 4 = 2 ln 2 (environ 1,386). S = {ln 4}.

c) e^{2x - 1} = e⁰ ⇔ 2x - 1 = 0 ⇔ x = 12. S = {12}.

d) e^x > 0 pour tout x, donc e^x = -2 est impossible. S = ∅.

3Exercice 3

Résous dans ℝ.

a) e^2x ≤ e^{x + 3}

b) e^x > 10

c) e^-x < 1

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) exp est croissante : 2x ≤ x + 3 ⇔ x ≤ 3. S = ]-∞ ; 3].

b) e^x > e^{ln 10} ⇔ x > ln 10 (environ 2,303). S = ]ln 10 ; +∞[.

c) e^-x < e⁰ ⇔ -x < 0 ⇔ x > 0. S = ]0 ; +∞[.

4Exercice 4

Résous dans ℝ en posant X = e^x.

a) e^2x - 5e^x + 6 = 0

b) e^2x + e^x - 2 = 0

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a) X² - 5X + 6 = 0 : Δ = 25 - 24 = 1, X₁ = 2 et X₂ = 3 (positifs). e^x = 2 ⇔ x = ln 2 ; e^x = 3 ⇔ x = ln 3. S = {ln 2 ; ln 3}.

b) X² + X - 2 = 0 : Δ = 1 + 8 = 9, X₁ = -1 - 32 = -2 et X₂ = -1 + 32 = 1. On rejette X = -2 car e^x > 0. e^x = 1 ⇔ x = 0. S = {0}.

5Exercice 5

(Type BAC) Soit f(x) = e^x - 1e^x + 1 définie sur ℝ.

a) Justifie que f est bien définie sur ℝ et calcule f(0).

b) Montre que, pour tout réel x, f(-x) = -f(x). Que peut-on en déduire pour la courbe ?

c) Montre que f(x) = 1 - 2e^x + 1.

d) Calcule les limites de f en +∞ et en -∞.

e) Résous l'équation f(x) = 13.

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a) Pour tout x, e^x > 0, donc e^x + 1 > 1 > 0 : le dénominateur ne s'annule jamais. f(0) = 1 - 11 + 1 = 0.

b) f(-x) = e^-x - 1e^-x + 1. On multiplie le numérateur et le dénominateur par e^x : f(-x) = 1 - e^x1 + e^x = -e^x - 1e^x + 1 = -f(x). La fonction est impaire : l'origine O est centre de symétrie de sa courbe.

c) 1 - 2e^x + 1 = e^x + 1 - 2e^x + 1 = e^x - 1e^x + 1 = f(x).

d) En +∞ : e^x + 1 → +∞, donc 2e^x + 1 → 0 et f(x) → 1. En -∞ : e^x → 0, donc f(x) → 0 - 10 + 1 = -1. Les droites y = 1 et y = -1 sont asymptotes horizontales.

e) e^x - 1e^x + 1 = 13 ⇔ 3(e^x - 1) = e^x + 1 ⇔ 3e^x - 3 = e^x + 1 ⇔ 2e^x = 4 ⇔ e^x = 2 ⇔ x = ln 2.

Vérification : f(ln 2) = 2 - 12 + 1 = 13. S = {ln 2}.

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